Row Lost in Vandermonde | Jay Bridge's Blog

2023.11.27 week-11 TA class

Supple10 Q3

求行列式 $D_{n}$ 的值（代数表达式）。

D_{n} = \begin{vmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ x_{1} & x_{2} & \cdots & x_{n} \\ x_{1}^{2} & x_{2}^{2} & \cdots & x_{n}^{2} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ x_{1}^{n-2} & x_{2}^{n-2} & \cdots & x_{n}^{n-2} \\ x_{1}^{n} & x_{2}^{n} & \cdots & x_{n}^{n} \end{vmatrix}

思想：补全缺失的行和列

\begin{vmatrix} 1& 1 & 1 & 1 \\\ a& b & c & d \\\ a^{2}& b^{2} &c^{2} &d^{2} \\\ a^{4}& b^{4} &c^{4} &d^{4} \end{vmatrix}

Solution:Construct complete Vandermonde and compare coefficient.

构造完整范德姆行列式并比较（二项式）系数

\det A= \begin{vmatrix} 1& 1 & 1 & 1 & 1 \\\ a& b & c & d &x \\\ a^{2}& b^{2} &c^{2} &d^{2} & x^2 \\\ a^{3}& b^{3} &c^{3} &d^{3} & x^3 \\\ a^{4}& b^{4} &c^{4} &d^{4} & x^4 \end{vmatrix}

Now we want to find the minor $M_{25}$ of Matrix A.

Define constant $S = (d-c)(b-d)(d-a)(c-b)(c-a)(b-a)$ .

Calculate the Vandermonde determinant and co-factor expansion by column n;

计算范德姆行列式和列 n 的代数余子式

\begin{align} |A| & =S(x-d)(x-c)(x-b)(x-a) \\\ & =C_{15}+C_{25}x+C_{35}x^{2}+C_{45}x^{3}+C_{55}x^{4} \\\ \end{align}

Compare the coefficient of x:

比较x的系数

C_{25}=(-abc-abd-acd-bcd)S

So, the original determinant is

M_{25}=-C_{25}=(+abc+abd+acd+bcd)S

D_{expansion}= \begin{vmatrix} 1 & 1 & \dots& 1 &1\\\\ x_{1} &x_{2} &\dots &x_{n} &y \\\ x_{1}^{2} &x_{2}^{2} &\dots &x_{n}^{2} &y^2 \\\ \dots&\dots& &\dots &\dots \\\ x_{1}^{n-2} &x_{2}^{n-2} &\dots &x_{n}^{n-2} &y^{n-2} \\\ x_{1}^{n-1} &x_{2}^{n-1} &\dots &x_{n}^{n-1} &y^{n-1} \\\ x_{1}^n &x_{2}^n &\dots &x_{n}^n &y^{n} \end{vmatrix}

然后按最后一列展开，我们所需要求的 $D_{n}$ 应该会和 n 行 n+1 列（即补充的行和列，对应 $y^{n-1}$ ）的代数余子式有关，因此只看这一项。

将 $D_{e}$ 算两次即可比较得出 $D_{n}$

第一步，按最后一列展开,只看 $y^{n-1}$

(-1)^{n+(n+1)}D_{n}y^{n-1}=-D_{n}y^{n-1}

第二步，根据 Vandermonde Determinant 的性质:

（为了方便书写，我们记 $y=x_{n+1}$ ）

D_{e}=\prod_{1\le j < i \le n+1} (x_{i}-x_{j})

我们想要 $y^{n-1}$ 的系数，于是改写为

D_{e}=\left[ \prod_{1\le j < i \le n} (x_{i}-x_{j}) \right] \left[ \prod_{1\le i \le n} (y-x_{i}) \right]

左边方括号为 $D_{n}$ ，右边运用二项式定理，得 $y^{n-1}$ 项为

\sum_{i=1}^{n}(-x_i)y^{n-1}

比较即得

-D_{n}=\left[ \prod_{1\le j < i \le n} (x_{i}-x_{j}) \right] \left[ \sum_{i=1}^{n}(-x_i) \right]

D_{n}=\left[ \prod_{1\le j < i \le n} (x_{i}-x_{j}) \right] \left[ \sum_{i=1}^{n}x_i \right]